Slip
La question de départ est très simple :de combien de façons différentes
peut-on se tromper en enfilant son slip ?
Nous nous proposons ici
de dénombrer de manière rigoureuse
les différentes façons d’enfiler un slip.
Nous pourrons tout d’abord remarquer
que tous les slips normalement constitués
sont topologiquement homéomorphes
à une sphère percée de trois trous :
Nous représentons ici l’extérieur du slip
en bleu et l’intérieur en vert
afin de se repérer par la suite
plus commodément.
Considérons maintenant un slip
enfilé normalement :
La jambe n°1 entre d’abord par le trou n°1,
puis le trou n°2
et la jambe n°2 entre d’abord par le trou n°1,
puis le trou n°3.
Ajoutons enfin que le slip est en configuration n°1,
c’est-à-dire bleu à l’extérieur et vert à l’intérieur.
Exhibons maintenant quelques exemples
de slips mal enfilés.
Le slip peut être “retourné”,
c-est-à-dire en configuration n°2 :
Les jambes peuvent s’enfiler
dans les mauvais trous :
Ou dans un ordre erroné :
Enfin, précisons qu’on ne
dénombrera pas les cas où
la jambe rentre dans le slip
et ne ressort pas :
Donc chaque jambe rentre une fois et une seule,
et sort une fois et une seule du slip.
Bref, nous excluerons les cas de ce genre :
Et ceci en passant par un trou différent.
Donc ça...
...interdit également.
Ces hypothèses posées,
passons maintenant au dénombrement.
Nous avons 1 choix parmi 3 trous
pour l’entrée dans le slip de la jambe n°1.
Puisque la jambe n°1 ne peut sortir par le même trou,
il nous reste 1 choix parmi 2 trous pour la sortie,
ce qui fait 2 x 3 = 6 possibilités.
Pour la jambe n°2, c’est le même raisonnement,
donc si on considère les deux jambes,
on arrive à 6 x 6 = 36 possibilités,
en configuration n°1.
Il reste donc à doubler le résultat
afin de comptabiliser les cas en configuration n°2,
ce qui donne 2 x 36 = 72 possibilités,
parmi lesquelles une seule est correcte.
Il existe donc 72 -1 = 71 possibilités de se tromper
quand nous enfilons un slip.
Nous pouvons d’ailleurs généraliser ce résultat
à un individu possédant n jambes et un slip à k trous.
La fonction s (comme slip)
dénombrant les possibilités
peut se poser ainsi :
s(n,k) = 2 . [k . (k - 1)]n
Remarquons enfin qu’un individu
normalement constitué possède généralement
des slips ayant un trou de plus que son nombre de jambes.
La fonction s devient donc trivialement :
s(n) = 2 . [(n + 1) . n]n
Prenons comme application numérique
un poulpe en bonne santé.
Dans ce cas, n = 8,
et pour enfiler correctement son slip,
il devra donc choisir parmi
s(8)
= 2 . [(8 + 1) . 8)]8
= 1 444 408 272 617 472 possibilités.