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La lunette

Combien ?

Combien de mâles ne se sont pas entenus dire :
"après t'être soulagé la vessie,
je te demande de baisser la lunette,
c'est pourtant pas bien compliqué" ?

Or je sentais bien depuis assez longtemps
que cette requête n'était pas justifiée,
sans pouvoir le montrer de manière satisfaisante.

J'avais beau contester,
mes arguments demeuraient contestables.
Il manquait une preuve formelle.

Mais après quelques heures de recherche intense,
cette lacune est désormais comblée.
Et je suis persuadé que des millions d'hommes
sauront tirer profit de mon apport à l'histoire des idées.

Automate

Convenons d'abord d'un système de notation qui nous simplifiera la vie :
état lunette : B = BaisséeL = Levée
arrivant : F = FemmeH = Homme
besoin : P = PipiC = Caca
action : ->B = Baisser->L = Lever

J'ai bien conscience de ce que cela peut avoir d'approximatif,
mais nous partirons sur l'hypothèse simple que
les 4 événements (F,P), (F,C), (H,P) et (H,C) sont équiprobables.

Voici un automate à états finis modélisant les actions à mener avant satisfaction du besoin,
selon l'état de la lunette au moment où F ou H arrive sur les lieux.


La question est maintenant : que faire après ?
Nous évaluerons trois politiques :
1) Lever la lunette si elle baissée.
2) Baisser la lunette si elle est levée.
3) Ne rien faire.

Lever la lunette

Dans ce cas, F ou H trouvera toujours en arrivant la lunette dans l'état L.
En faisant le bilan, on voit immédiatement que la personne
aura dans 3 cas sur 4, deux actions à effectuer :
->B avant et ->L après.
Cela donne donc en moyenne 1,5 actions par événement.

Baisser la lunette

Si on adopte cette politique, ça n'est guère plus compliqué.
Dans ce cas, F ou H trouvera toujours en arrivant la lunette dans l'état B.
En faisant le bilan, on voit qu'un seul événement provoquera deux actions :
pour l'événement (H,P), ->L avant et ->B après.
Cela donne donc en moyenne 0,5 action par événement.
Jusqu'ici, Madame a donc raison de préconiser cette politique.
Mais voyons la suite.

Ne rien faire

Là, ça se corse.
La lunette peut se trouver dans n'importe quel état à l'arrivée de F ou H,
contrairement à la situation que nous avons rencontrée
pour les deux politiques précédentes.
Pour connaître la probabilité de trouver la lunette dans l'état B ou L,
il faut faire un peu de calcul.
Reprenons notre automate à états finis.
Etant donné que les 4 événements sont équiprobables,
on peut aisément valuer les probabilité d'avoir à accomplir
->L si la lunette est dans l'état B
et ->B si elle est dans l'état L.
Voici le résultat :


Markov

On peut traduire le graphe par une matrice de transition :

Selon les techniques inhérentes aux chaînes de Markov,
pour connaître la loi de probabilité de l'automate,
c'est-à-dire connaître la probabilité d'être dans l'état B ou L
au bout d'un temps infini,
il suffit de diagonaliser la matrice
et d'obternir ainsi ses valeurs propres,
à savoir 3/4 et 1/4.
Les probabilités sont donc :

En pondérant les actions à accomplir selon chaque cas par ces probabilités,
on trouve in fine 0,375 action par événement.

Bilan

Voici pour finir un tableau récaptulant le nombre d'actions moyen à accomplir
à chaque fois que l'on se rend au petit coin, selon la politique adoptée :



Résultat, on constate que ne rien faire surpasse de loin les autres politiques.

Voilà tout.

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